Ecuaciones Diferenciales

CRITERIOS DE CLASIFICACIÓN

Ordinaria. Es la que contiene una función desconocida de una variable independiente y relaciona con sus derivadas

1) Tipo

Parcial. es aquella cuyas incógnitas son funciones de diversas variables, con la peculiaridad de que en dicha ecuación figuran no solo las propias funciones sino también sus derivadas.

Forma general. La expresión general de una Ecuación Diferencial Parcial Lineal Real de Segundo Orden en dos variables, definida en un dominio Ω del plano en coordenadas cartesianas es de la forma (1) a(x,y) ∂ 2u ∂x2 + 2b(x,y) ∂ 2u ∂x∂y + c(x,y) ∂ 2u ∂y2 + d(x,y) ∂u ∂x + e(x,y) ∂u ∂y+ f(x,y)u + g(x,y) = 0

2) Lineal.

No lineal. Es una ecuación diferencial que tiene la forma:

$a_n(x) D^n y(x) + a_{n-1}(x)D^{n-1} y(x) + \cdots + a_1(x) D y(x) + a_0(x) y(x) =f(x)$

O usando otra notación frecuente:

$a_n(x)\frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_1(x)\frac{dy}{dx} + a_0(x) y = f(x)$

Para que una ecuación diferencial sea lineal es que no aparezcan productos de la función incógnita consigo misma ni de ninguna de sus derivadas. Si usamos la notación

\mathcal{L}

para denotar el operador diferencial lineal de la ecuación anterior, entonces la ecuación anterior puede escribirse como:

$\mathcal{L}y = f, \qquad \mathcal{L} = \sum_{k=0}^n a_k(x)D^k(\cdot)$

3)Homogénea

Homogénea.Existen algunas ecuaciones diferenciales que al hacer un cambio de variable adecuado se reducen a ecuaciones en variables separadas, como el ejemplo anterior.

Antes de estudiar las ecuaciones diferenciales homogéneas es necesario definir lo que es una función homogénea.


	Una función $f: D \subset \mbox{$\ I \hspace{-1.23mm} R $\ }^2 \rightarrow \mbox{$\ I \hspace{-1.23mm} R $\ }$ se dice homogénea de grado si $\begin{displaymath} f(tx,ty) = t^n f(x,y) \end{displaymath}$ para todo y todo $(x,y) \in D$ .

No homogénea. Un ejemplo de ecuación diferencial no homogénea lineal de primer orden es

Un valor de la constante c distinto de cero es lo que hace que la ecuacións sea no homogénea y añade un paso mas en el proceso de solución de la misma. El camino hacia una solución generalpasa por encontrar previamente una solución a la ecuación homogénea

4) Variables.

Independientes. Una variable independiente es aquella cuyo valor no depende del de otra variable.

La variable independiente en una función se suele representar por x.

La variable independiente se representa en el eje de abscisas.

La variable y, llamada variable dependiente, está en función de la variable x, que es la variable independiente.

Dependientes. Una variable dependiente es aquella cuyos valores dependen de los que tomen otra variable.

La variable dependiente en una función se suele representar por y.

La variable dependiente se representa en el eje ordenadas.

La variable y está en función de la variable x, que es la variable independiente.

5) Coeficiente.

variable.Su fórmula expresa la desviación estándar como porcentaje de la media aritmética, mostrando una mejor interpretación porcentual del grado de variabilidad que la desviación típica o estándar. Por otro lado presenta problemas ya que a diferencia de la desviación típica este coeficiente es variable ante cambios de origen. Por ello es importante que todos los valores sean positivos y su media dé, por tanto, un valor positivo. A mayor valor del coeficiente de variación mayor heterogeneidad de los valores de la variable; y a menor C.V., mayor homogeneidad en los valores de la variable. Suele representarse por medio de las siglas C.V.

Exigimos que:

\bar{x} > 0

Constante. es un factor multiplicativo vinculado a un monomio. Dado un divisor del monomio, el coeficiente es el cociente del monomio por el divisor. Así el monomio es el producto del coeficiente y el divisor. Los diferentes coeficientes dependerán de la factorización del monomio.

$a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 + \cdots$

$P(x) = a_k x^k + \cdots + a_1 x^1 + a_0.$

6) Orden. Es la derivada mas alta.

7) Grado. Es la potencia de la derivada mas alta.

Ecuaciones Diferenciales

martes, 17 de febrero de 2015

Clasificación de Ecuaciones Diferenciales

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